English
Let F be a (possibly infinite) family of compact convex sets in a finite-dimensional space. If every subfamily of F with cardinality ≤ d+1 has nonempty intersection, then the intersection over all of F is nonempty.
Русский
Пусть F — семейство компактных выпуклых множеств в конечномерном пространстве. Если у F каждая подподсемейство с количеством элементов ≤ d+1 имеет непустое пересечение, то пересечение всей F непусто.
LaTeX
$$$\\displaystyle\\text{Let } F \\subseteq \\mathcal{P}(E) \\text{ be a (possibly infinite) family of compact convex sets. If for every finite } G \\subseteq F, |G| \\le d+1, we have } \\bigcap_{X \\in G} X \\neq \\emptyset, \\text{ then } \\bigcap_{X \\in F} X \\neq \\emptyset.$$$
Lean4
theorem openSegment_symm (x y : E) : openSegment 𝕜 x y = openSegment 𝕜 y x :=
Set.ext fun _ =>
⟨fun ⟨a, b, ha, hb, hab, H⟩ => ⟨b, a, hb, ha, (add_comm _ _).trans hab, (add_comm _ _).trans H⟩,
fun ⟨a, b, ha, hb, hab, H⟩ => ⟨b, a, hb, ha, (add_comm _ _).trans hab, (add_comm _ _).trans H⟩⟩
