strictConcaveOn_sqrt_mul_log_Ioi — Mathlib

English

The function x ↦ sin x is strictly concave on an appropriate interval; in the given context on a subset of the real line, sin is strictly concave.

Русский

Функция sin x является строго вогнутой на указанном отрезке, в контексте задачи — на некоторой подмножности вещественной оси.

LaTeX

$$StrictConcaveOn Real Set.Ioi 1 sin$$

Lean4

theorem strictConcaveOn_sqrt_mul_log_Ioi : StrictConcaveOn ℝ (Set.Ioi 1) fun x => √x * log x :=
  by
  apply strictConcaveOn_of_deriv2_neg' (convex_Ioi 1) _ fun x hx => ?_
  · exact continuous_sqrt.continuousOn.mul (continuousOn_log.mono fun x hx => ne_of_gt (zero_lt_one.trans hx))
  · rw [deriv2_sqrt_mul_log x]
    exact
      div_neg_of_neg_of_pos (neg_neg_of_pos (log_pos hx))
        (mul_pos four_pos (pow_pos (sqrt_pos.mpr (zero_lt_one.trans hx)) 3))

Похожие утверждения