English
Let E be a finite-dimensional real normed space with Haar measure μ. For any p ∈ R, the constant eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst(μ, p) is defined by the formula involving finrank(E) and the Holder exponent; it captures the multiplicative factor that appears in the Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality when the inner product structure is used inside the derivative term.
Русский
Пусть E — конечномерное вещественное нормированное пространство,measure μ — гармоническая мера. Для любого p ∈ R константа eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst(μ, p) задаётся формулой через размерность пространства и сопряжённый показатель Холдерa; она является множителем в неравенстве Гagliардо–Ниренро–Соболева при использовании внутреннего произведения внутри операции производной.
LaTeX
$$$\\displaystyle \\text{Let } n = \\operatorname{finrank}_{\\mathbb{R}} E.\\quad C(p) = eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst\\;\\mu\\; p \\,=\\; eLpNormLesNormFDerivOneConst(\\mu, NNReal.conjExponent\\, n) \\cdot \\frac{p\\,(n-1)}{n-p} \\;\\text{(after applying appropriate NNReal conversions).}$$$
Lean4
/-- The constant factor occurring in the conclusion of `eLpNorm_le_eLpNorm_fderiv_of_eq_inner`.
It only depends on `E`, `μ` and `p`. -/
def eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst (p : ℝ) : ℝ≥0 :=
let n := finrank ℝ E
eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (NNReal.conjExponent n) * (p * (n - 1) / (n - p)).toNNReal
