im_inner_adjoint_mul_self_eq_zero

Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint

URI: https://scilib.ai/kg/mathlib#LinearMap.im_inner_adjoint_mul_self_eq_zero

← MathLib Explorer

English

For all x, the imaginary part of ⟪x, T†T x⟫ is zero.

Русский

Для каждого x мнимая часть ⟪x, T†T x⟫ равна нулю.

LaTeX

$$$$\operatorname{Im}\langle x, (T^{*}T) x\rangle = 0 \quad\text{for all } x.$$$$

Lean4

@[simp]
theorem im_inner_adjoint_mul_self_eq_zero (T : E →ₗ[𝕜] E) (x : E) : im ⟪x, T.adjoint (T x)⟫ = 0 :=
  by
  simp only [adjoint_inner_right, inner_self_eq_norm_sq_to_K]
  norm_cast

Похожие утверждения

Научная платформа российской исследовательской школы.

Разделы

MathLib Explorer
Graph RAG
Лаборатория
Блог
О проекте
Команда

Аффилиация

Вычислительный центр им. А. А. Дороницына при ФИЦ «Информатика и Управление» РАН frccsc.ru