laplacian_eq_iteratedFDeriv_orthonormalBasis

English

In a commuting family of symmetric endomorphisms, the space decomposes into joint eigenspaces as an internal direct sum.

Русский

Для коммутирующей пары симметричных эндоморфизмов пространство распадается на общие собственные пространства как внутренняя прямая сумма.

LaTeX

$$DirectSum.IsInternal (fun α => iInf (T i).eigenspace (α i))$$

Lean4

/-- Standard formula, computing the Laplacian from any orthonormal basis.
-/
theorem laplacian_eq_iteratedFDeriv_orthonormalBasis {ι : Type*} [Fintype ι] (v : OrthonormalBasis ι ℝ E) :
    Δ f = fun x ↦ ∑ i, iteratedFDeriv ℝ 2 f x ![v i, v i] :=
  by
  ext x
  simp [InnerProductSpace.laplacian, canonicalCovariantTensor_eq_sum E v, tensorIteratedFDerivTwo_eq_iteratedFDeriv]

Похожие утверждения