isometryOfInner — Mathlib

English

If a linear map f preserves inner products, then the corresponding inner-preserving construction yields a linear isometry.

Русский

Если линейное отображение f сохраняет скалярное произведение, то соответствующая конструкция сохраняет изометричность.

LaTeX

$$$ (\\forall x,y), \\langle f x, f y \\rangle = \\langle x, y \\rangle \\implies f \\text{ is a linear isometry} $$$

Lean4

/-- A linear map that preserves the inner product is a linear isometry. -/
def isometryOfInner (f : E →ₗ[𝕜] E') (h : ∀ x y, ⟪f x, f y⟫ = ⟪x, y⟫) : E →ₗᵢ[𝕜] E' :=
  ⟨f, fun x => by simp only [@norm_eq_sqrt_re_inner 𝕜, h]⟩

Похожие утверждения