adjoint_isClosed — Mathlib

English

Let T be a LinearPMap with dense domain; then its adjoint is a closed operator.

Русский

Пусть T — линейное частичное отображение с плотной областью определения; тогда его сопряжение — замкнутое отображение.

LaTeX

$$$T^{\\dagger}.\\mathrm{IsClosed}$ given dense domain$$

Lean4

theorem adjoint_isClosed (hT : Dense (T.domain : Set E)) : T†.IsClosed :=
  by
  rw [IsClosed, adjoint_graph_eq_graph_adjoint hT, Submodule.adjoint]
  simp only [Submodule.map_coe]
  rw [LinearEquiv.image_eq_preimage]
  exact (Submodule.isClosed_orthogonal _).preimage (WithLp.prod_continuous_toLp _ _ _)

Похожие утверждения