norm_fderiv_norm_id_rpow — Mathlib

English

There are bounds relating the operator norms of fderiv of f and its adjoint in the real/complex setting, via the chain rule and inner products.

Русский

Существуют ограничения на операторы нормы сопряжённых через производную f и сопряжение, используя цепное правило и скалярное произведение.

LaTeX

$$$\\|f^{\\dagger}\\| \\,\\le\\, \\|f\\|$ православно$$

Lean4

theorem norm_fderiv_norm_id_rpow (x : E) {p : ℝ} (hp : 1 < p) : ‖fderiv ℝ (fun x ↦ ‖x‖ ^ p) x‖ = p * ‖x‖ ^ (p - 1) :=
  by
  rw [fderiv_norm_rpow x hp, norm_smul, norm_mul]
  simp_rw [norm_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _), norm_norm, norm_eq_abs, abs_eq_self.mpr <| zero_le_one.trans hp.le,
    mul_assoc, innerSL_apply_norm]
  rw [← Real.rpow_add_one' (by positivity) (by linarith)]
  ring_nf

Похожие утверждения