inner_left_eq_inner_right — Mathlib

English

If a linear map is positive, then it is symmetric and has nonnegative inner product with itself.

Русский

Положительность линейного отображения implies симметричность и неотрицательность ⟪Tx, x⟫.

LaTeX

$$$$\text{IsPositive}(T) \Rightarrow (\text{IsSymmetric}(T) \land \forall x, 0 \le \langle Tx, x\rangle).$$$$

Lean4

theorem inner_left_eq_inner_right {T : E →L[𝕜] E} (hT : IsPositive T) (x : E) : ⟪T x, x⟫ = ⟪x, T x⟫ := by
  rw [← adjoint_inner_left, hT.isSelfAdjoint.adjoint_eq]

Похожие утверждения