orthogonalProjection_comp — Mathlib

English

If a continuous linear map f satisfies ⟨f x, x⟩ bounds from below by c∥x∥^2 for all x with c>0, then f is Antilipschitz with constant c⁻¹.

Русский

Если непрерывное линейное отображение f удовлетворяет ⟨f x, x⟩ ≥ c∥x∥^2 для всех x и c>0, то f является антилипшиццовым отображением с константой c⁻¹.

LaTeX

$$$\forall x:\; \|x\|^2 \cdot c \le \|\langle f x, x\rangle\| \Rightarrow \text{AntilipschitzWith}(c^{-1}, f)$$$

Lean4

theorem orthogonalProjection_comp {T : E →L[𝕜] E} (hT : T.IsPositive) (U : Submodule 𝕜 E) [CompleteSpace U] :
    (U.orthogonalProjection ∘L T ∘L U.subtypeL).IsPositive :=
  by
  have := hT.conj_adjoint (U.orthogonalProjection : E →L[𝕜] U)
  rwa [U.adjoint_orthogonalProjection] at this

Похожие утверждения