isBounded_iff_subset_smul_ball — Mathlib

English

If a sequence tends to x, the vonNBoundedness of its image is preserved under range.

Русский

Если последовательность сходится к x, ограниченность образа сохраняется под диапазоном.

LaTeX

$$$\\operatorname{Tendsto}(f,\\; atTop,\\; \\mathcal{N}(x)) \\Rightarrow \\operatorname{IsVonNBounded}_{\\mathbb{k}}(\\operatorname{range}(f))$$$

Lean4

theorem isBounded_iff_subset_smul_ball {s : Set E} : Bornology.IsBounded s ↔ ∃ a : 𝕜, s ⊆ a • Metric.ball (0 : E) 1 :=
  by
  rw [← isVonNBounded_iff 𝕜]
  constructor
  · intro h
    rcases (h (Metric.ball_mem_nhds 0 zero_lt_one)).exists_pos with ⟨ρ, _, hρball⟩
    rcases NormedField.exists_lt_norm 𝕜 ρ with ⟨a, ha⟩
    exact ⟨a, hρball a ha.le⟩
  · rintro ⟨a, ha⟩
    exact ((isVonNBounded_ball 𝕜 E 1).image (a • (1 : E →L[𝕜] E))).subset ha

Похожие утверждения