separating_iff_T1 — Mathlib

English

A separating family of seminorms is equivalent to the topology being T1. In particular, hp implies T1Space E iff the separating condition holds.

Русский

Разделяющая система семинорм эквивалентна тому, что топология является T1. В частности, hp дает T1Space E тогда и только тогда, когда выполняется разделяющее условие.

LaTeX

$$$hp:\\; WithSeminorms\\ p \\Rightarrow\\ (\\forall x, x\\neq 0 \\to \\exists i, p_i x \\neq 0) \\iff T1Space\\; E$$$

Lean4

/-- A family of seminorms is separating iff it induces a T₁ topology. -/
theorem separating_iff_T1 (hp : WithSeminorms p) : (∀ x, x ≠ 0 → ∃ i, p i x ≠ 0) ↔ T1Space E :=
  by
  refine ⟨WithSeminorms.T1_of_separating hp, ?_⟩
  intro
  exact WithSeminorms.separating_of_T1 hp

Похожие утверждения