withSeminorms_of_hasBasis — Mathlib

English

In a setting where all seminorms come from a single norm via a family, Tendsto is equivalent to convergence of the normed seminorms uniformly; i.e., Tendsto f to y0 iff for all i, the seminorms composed with f tend to 0.

Русский

Для случая, когда все семинормы происходят от одного нормирования, схождение по нормам эквивалентно схождению семинорм, преобразованных композициями с f, к нулю.

LaTeX

$$$hp:\\; WithSeminorms p \\rightarrow\\ (Tendsto\\ u\\ f\\ (nhds\\ y_0))\\iff \\forall i,\\; Tendsto((p_i)\\circ f)\\f (нам)\\) $$

Lean4

theorem withSeminorms_of_hasBasis [IsTopologicalAddGroup E] (p : SeminormFamily 𝕜 E ι)
    (h : (𝓝 (0 : E)).HasBasis (fun s : Set E => s ∈ p.basisSets) id) : WithSeminorms p :=
  p.withSeminorms_of_nhds <| Filter.HasBasis.eq_of_same_basis h p.addGroupFilterBasis.toFilterBasis.hasBasis

Похожие утверждения