English
If every p i in a family p has the '$withSeminorms$' property, then the seminorm family obtained by sigma over i of (p i).comp (LinearMap.proj i) also has the withSeminorms property; i.e., the product construction preserves the seminorm topology.
Русский
Если каждое p i в семействе p обладает свойством withSeminorms, то семейство семинорм, полученное через сигма-операцию над i от (p i).comp (LinearMap.proj i), также обладает свойством withSeminorms; то есть параллельная конструкция сохраняет топологию семинорм.
LaTeX
$$$ withSeminorms ∃ p, (SeminormFamily.sigma (fun i => (p i).comp (LinearMap.proj i))) $$$
Lean4
theorem finset_sup_comp (q : SeminormFamily 𝕜₂ F ι) (s : Finset ι) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] F) :
(s.sup q).comp f = s.sup (q.comp f) := by
ext x
rw [Seminorm.comp_apply, Seminorm.finset_sup_apply, Seminorm.finset_sup_apply]
rfl
