English
Define a preorder on n×n matrices over a field 𝕜 by A ≤ B iff B − A is PosSemidefinite; this relation is reflexive and transitive, hence a Preorder.
Русский
Определим пред Order на матрицах размером n×n над полем 𝕜 так: A ≤ B тогда, когда B − A положительно_semидефинитная; это отношение рефлексивно и транзитивно, следовательно это пред-порядок.
LaTeX
$$$ \\text{instPreOrder} : Preorder (Matrix n n 𝕜) \\;where\\; le A B := (B - A).PosSemidef $$$
Lean4
/-- The preorder on matrices given by `A ≤ B := (B - A).PosSemidef`. -/
abbrev instPreOrder : Preorder (Matrix n n 𝕜)
where
le A B := (B - A).PosSemidef
le_refl A := sub_self A ▸ PosSemidef.zero
le_trans A B C h₁ h₂ := sub_add_sub_cancel C B A ▸ h₂.add h₁
