commute_iff — Mathlib

English

If A and B are positive semidefinite, then Commute A B if and only if AB is positive semidefinite.

Русский

Если A и B положительно полуопределены, тогда A и B commute тогда и только тогда, когда AB положительно полуопределён.

LaTeX

$$$A^{PosSemidef} \to B^{PosSemidef} \Rightarrow (Commute\ A\ B) \iff (A B)^{PosSemidef}.$$$

Lean4

@[deprecated commute_iff_mul_nonneg (since := "2025-09-23")]
theorem commute_iff {A B : Matrix n n 𝕜} (hA : A.PosSemidef) (hB : B.PosSemidef) : Commute A B ↔ (A * B).PosSemidef :=
  by classical exact nonneg_iff_posSemidef (A := A * B).eq ▸ commute_iff_mul_nonneg hA.nonneg hB.nonneg

Похожие утверждения