English
For any set s, s * ball 1 δ equals the thickening of s by δ: s * ball(1, δ) = thickening(δ, s).
Русский
Для множества s произведение с шаром единицы δ даёт утолщение δ соседствующего множества: s * ball(1, δ) = thickening(δ, s).
LaTeX
$$$$s \cdot B(1,\delta) = \operatorname{thickening}(\delta, s)$$$$
Lean4
@[to_additive]
theorem mul_ball_one : s * ball 1 δ = thickening δ s :=
by
rw [thickening_eq_biUnion_ball]
convert iUnion₂_mul (fun x (_ : x ∈ s) => { x }) (ball (1 : E) δ)
· exact s.biUnion_of_singleton.symm
ext x
simp_rw [singleton_mul_ball, mul_one]