English
Let E be a normed algebra over a normed field 𝕜, and S a subalgebra of E (in the sense of a subring with compatible scalar action). Then S inherits a NormedAlgebra structure from E by restriction, and for all c in 𝕜 and x in S one has norm_smul_le(c, x) in the ambient norm, i.e. ||c·x|| ≤ ||c|| · ||x||.
Русский
Пусть E — нормированная алгебра над нормированной связкой 𝕜, и S — подпорядок (подалгебра) E. Тогда S наследует структуру нормированной алгебры 𝕜 от E путём ограничения, и для всех c ∈ 𝕜 и x ∈ S выполняется неравенство ||c·x|| ≤ ||c|| · ||x||.
LaTeX
$$$\text{Let } E \text{ be a normed algebra over } \mathbb{K},\; S \subseteq E \text{ a subalgebra. Then } S \text{ carries a NormedAlgebra structure induced by } E,$ \\ $\|c\cdot x\| \le \|c\| \cdot \|x\| \quad (c \in \mathbb{K},\ x \in S).$$$
Lean4
instance (priority := 75) toNormedAlgebra : NormedAlgebra 𝕜 s where norm_smul_le c x := norm_smul_le c (x : E)
