norm_extendTo𝕜' — Mathlib

English

Let B be a basis of a finite type; the map v ↦ B.toMatrix(v) is continuous.

Русский

Пусть B — база конечного размера; отображение v ↦ B.toMatrix(v) непрерывно.

LaTeX

$$$\\text{Continuous}\\big(v \\mapsto B.toMatrix(v)\\big)$$$

Lean4

@[simp]
theorem norm_extendTo𝕜' (fr : StrongDual ℝ F) : ‖(fr.extendTo𝕜' : StrongDual 𝕜 F)‖ = ‖fr‖ :=
  le_antisymm (ContinuousLinearMap.opNorm_le_bound _ (norm_nonneg _) fr.norm_extendTo𝕜'_bound) <|
    opNorm_le_bound _ (norm_nonneg _) fun x =>
      calc
        ‖fr x‖ = ‖re (fr.extendTo𝕜' x : 𝕜)‖ := congr_arg norm (fr.extendTo𝕜'_apply_re x).symm
        _ ≤ ‖(fr.extendTo𝕜' x : 𝕜)‖ := (abs_re_le_norm _)
        _ ≤ ‖(fr.extendTo𝕜' : StrongDual 𝕜 F)‖ * ‖x‖ := le_opNorm _ _

Похожие утверждения