opNorm_le_iff_lipschitz — Mathlib

English

For a bounded linear map f, its operator norm is at most K if and only if f is Lipschitz with constant K.

Русский

Для ограниченного линейного отображения f семейством косвенно равной нормы верно: ‖f‖ ≤ K тогда и только тогда, когда f липшицев с константой K.

LaTeX

$$$ \|f\| \le K \;\Leftrightarrow\; \text{LipschitzWith } K\, f $$$

Lean4

theorem opNorm_le_iff_lipschitz {f : E →SL[σ₁₂] F} {K : ℝ≥0} : ‖f‖ ≤ K ↔ LipschitzWith K f :=
  ⟨fun h ↦ by simpa using AddMonoidHomClass.lipschitz_of_bound f K <| le_of_opNorm_le f h, fun hf ↦
    f.opNorm_le_bound K.2 <| hf.norm_le_mul (map_zero f)⟩

Похожие утверждения