norm_pi_le_of_le — Mathlib

English

If two continuous linear maps agree on all inputs in norm, then they have the same operator norm.

Русский

Если две непрерывные линейные отображения совпадают по всем входам, тогда их нормы оператора совпадают.

LaTeX

$$$ \|f\| = \|g\| \quad\text{if } f x = g x \text{ для всех } x$$$

Lean4

theorem norm_pi_le_of_le {ι : Type*} [Fintype ι] {M : ι → Type*} [∀ i, SeminormedAddCommGroup (M i)]
    [∀ i, NormedSpace 𝕜 (M i)] {C : ℝ} {L : (i : ι) → (E →L[𝕜] M i)} (hL : ∀ i, ‖L i‖ ≤ C) (hC : 0 ≤ C) : ‖pi L‖ ≤ C :=
  by
  refine opNorm_le_bound _ hC (fun x ↦ ?_)
  refine (pi_norm_le_iff_of_nonneg (by positivity)).mpr (fun i ↦ ?_)
  exact (L i).le_of_opNorm_le (hL i) _

Похожие утверждения