English
Let G be a directed system of modules with connecting maps f. The direct limit is formed by taking the disjoint union of all G_i and quotienting by the least equivalence relation generated by x ∈ G_i identified with f_i_j(h)x ∈ G_j for i ≤ j. The canonical embedding map of G_i into the direct limit sends g ∈ G_i to the equivalence class of (i,g). In particular, the natural linear embedding of G_i into the direct limit corresponds to the class ⟦(i,g)⟧.
Русский
Пусть G_i образует направленную систему модулей с переходящими отображениями f. Прямой предел образуется как объединение всех G_i с факторизацией по самой мелкой эквивалентности, порождаемой идентификацией x ∈ G_i с f_i_j(h)x ∈ G_j для i ≤ j. Каноническое вложение i: G_i → прямой предел отправляет g ∈ G_i в эквивалентный класс ⟨i,g⟩. В частности, линейное вложение эквивалентно классу ⟨i,g⟩.
LaTeX
$$$\iota_i(g) = [i,g]$ for all $i$ and $g\in G_i$, where $[i,g]$ denotes the equivalence class of the pair $(i,g)$ in the direct limit.$$
Lean4
theorem linearEquiv_of {i g} : linearEquiv _ _ (of _ _ G f i g) = ⟦⟨i, g⟩⟧ := by simp [linearEquiv]; rfl
