English
For all finite indices, the left-argument distance is antitone with respect to the left component; i.e., increasing the left argument decreases the distance.
Русский
Для всех конечных индексов расстояние слева является антитоничным по отношению к левой компоненте.
LaTeX
$$$\text{AntitoneOn } (\mathrm{dist} \; \cdot \; y) \; (\mathrm{Iic} \; y)$$$
Lean4
theorem dist_anti_left_pi : AntitoneOn (dist · y) (Iic y) :=
by
refine fun y₁ hy₁ y₂ hy₂ hy ↦ NNReal.coe_le_coe.2 (Finset.sup_mono_fun fun i _ ↦ ?_)
rw [Real.nndist_eq', Real.nnabs_of_nonneg (sub_nonneg_of_le (‹_ ≤ y› i : y₂ i ≤ y i)), Real.nndist_eq',
Real.nnabs_of_nonneg (sub_nonneg_of_le (‹_ ≤ y› i : y₁ i ≤ y i))]
exact Real.toNNReal_mono (sub_le_sub_left (hy _) _)
