English
Let p be a real subspace of E and f be a continuous linear functional on p. Then there exists g on E extending f with ‖g‖ = ‖f‖.
Русский
Пусть p — действительное подпространство E, а f — непрерывающий линейный функционал на p. Существует расширение g на E такого, что g ограничено равенством f на p и ‖g‖ = ‖f‖.
LaTeX
$$$\\exists g : StrongDual\\; \\mathbb{R}\\; E,\\forall x \\in p,\\ g x = f x \\land \\|g\\| = \\|f\\|$$$
Lean4
/-- If `f : α → E` is a function such that `norm ∘ f` has a local maximum at a point `c` and `y` is
a vector on the same ray as `f c`, then the function `fun x => ‖f x + y‖` has a local maximum
at `c`. -/
theorem norm_add_sameRay (h : IsLocalMax (norm ∘ f) c) (hy : SameRay ℝ (f c) y) : IsLocalMax (fun x => ‖f x + y‖) c :=
IsMaxFilter.norm_add_sameRay h hy
