English
Equivalent statement of uniform oscillation on a compact set: a bound on oscillation at each point implies a uniform bound on the diameters of images on small balls around each point.
Русский
Эквивалентность равномерной осцилляции на компактном множестве: ограничение осцилляции в каждой точке порождает глобальное ограничение диаметра образов на малых шарах вокруг каждой точки.
LaTeX
$$$\\text{IsCompact } K \\Rightarrow (\\forall x∈K,\\ osc f x < ε) → \\exists δ>0, \\forall x∈K,\\ diam(f(B(x,δ))) ≤ ε$$$
Lean4
theorem le_sum_condensed (hf : ∀ ⦃m n⦄, 0 < m → m ≤ n → f n ≤ f m) (n : ℕ) :
(∑ k ∈ range (2 ^ n), f k) ≤ f 0 + ∑ k ∈ range n, 2 ^ k • f (2 ^ k) :=
by
convert add_le_add_left (le_sum_condensed' hf n) (f 0)
rw [← sum_range_add_sum_Ico _ n.one_le_two_pow, sum_range_succ, sum_range_zero, zero_add]
