English
Let p be a seminorm on E2, f a semilinear map f: E →_{σ} E2, and x ∈ E. Then the ball of the pulled-back seminorm p ∘ f around x with radius r is the preimage by f of the ball of p around f(x): (p ∘ f).ball x r = f^{-1}( p.ball (f x) r ).
Русский
Пусть p — семинорм на E2, f — полиномепримерно линейное отображение f: E →_{σ} E2. Тогда шар нормированы p ∘ f вокруг x радиуса r равен предварительному образу по f от шара p вокруг f(x): (p ∘ f).ball x r = f^{-1}( p.ball (f x) r ).
LaTeX
$$$((p \circ f).ball x r) = f^{-1}( p.ball (f x) r)$$$
Lean4
theorem ball_comp (p : Seminorm 𝕜₂ E₂) (f : E →ₛₗ[σ₁₂] E₂) (x : E) (r : ℝ) :
(p.comp f).ball x r = f ⁻¹' p.ball (f x) r := by
ext
simp_rw [ball, mem_preimage, comp_apply, Set.mem_setOf_eq, map_sub]
