English
For an element a in a real algebra with spectrum, the upper bounds of the spectrum do not depend on whether we view the spectrum in NNReal via the real-to-NNReal map or in Real.
Русский
Для элемента a в кольце с действительным алгебраическим спектром верхние границы спектра не зависят от того, смотрим ли спектр в NNReal через отображение Real→NNReal или в Real.
LaTeX
$$$(\\forall x \\in \\mathrm{spectrum}(\\mathbb{R}_{\\ge 0},a),\, x \\le r) \\iff (\\forall x \\in \\mathrm{spectrum}(\\mathbb{R},a),\, x \\le r).$$$
Lean4
@[simp]
theorem neg_closedBall (p : Seminorm 𝕜 E) (r : ℝ) (x : E) : -closedBall p x r = closedBall p (-x) r :=
by
ext
rw [Set.mem_neg, mem_closedBall, mem_closedBall, ← neg_add', sub_neg_eq_add, map_neg_eq_map]
