English
Let {p_i} be a finite family of seminorms on a normed space, q another seminorm, and C a bound. If a shell-type estimate holds for all x with a certain ε and c with norm greater than 1, then q(x) is bounded by C times the supremum of the p_i evaluated at x.
Русский
Пусть {p_i} — конечная семейство полупреприятий на нормированном пространстве, q — другое полупрещение и C — неотрицательное. При выполнении оболочно-подобного неравенства для всех x с некоторыми ε и c с ||c||>1 выполняется: q(x) ≤ (C · sup_i p_i)(x).
LaTeX
$$$\\forall x \\in E,\\; q(x) \\le (C \\cdot (\\sup_{i \\in s} p_i))(x).$$$
Lean4
theorem bound_of_shell_sup (p : ι → Seminorm 𝕜 E) (s : Finset ι) (q : Seminorm 𝕜 E) {ε : ℝ} {C : ℝ≥0} (ε_pos : 0 < ε)
{c : 𝕜} (hc : 1 < ‖c‖) (hf : ∀ x, (∀ i ∈ s, p i x < ε) → ∀ j ∈ s, ε / ‖c‖ ≤ p j x → q x ≤ (C • p j) x) {x : E}
(hx : ∃ j, j ∈ s ∧ p j x ≠ 0) : q x ≤ (C • s.sup p) x :=
by
rcases hx with ⟨j, hj, hjx⟩
have : (s.sup p) x ≠ 0 := ne_of_gt ((hjx.symm.lt_of_le <| apply_nonneg _ _).trans_le (le_finset_sup_apply hj))
refine (s.sup p).bound_of_shell_smul q ε_pos hc (fun y hle hlt ↦ ?_) this
rcases exists_apply_eq_finset_sup p ⟨j, hj⟩ y with ⟨i, hi, hiy⟩
rw [smul_apply, hiy]
exact hf y (fun k hk ↦ (le_finset_sup_apply hk).trans_lt hlt) i hi (hiy ▸ hle)
