norm_log_one_add_le — Mathlib

English

For z with ∥z∥<1, the expression log(1+z) − z is bounded by ∥z∥^2/(2(1-∥z∥)) with a Big-O control as in the previous bounds.

Русский

Для z с ∥z∥<1 выражение log(1+z) − z ограничено сверху парадоксной величиной, и граница аналогична ранее приведённым оценкам.

LaTeX

$$$\\|\\log(1+z) - z\\| \\le \\frac{\\|z\\|^2}{2}\\,(1 - \\|z\\|)^{-1}$$$

Lean4

theorem norm_log_one_add_le {z : ℂ} (hz : ‖z‖ < 1) : ‖log (1 + z)‖ ≤ ‖z‖ ^ 2 * (1 - ‖z‖)⁻¹ / 2 + ‖z‖ :=
  by
  rw [← sub_add_cancel (log (1 + z)) z]
  exact norm_add_le_of_le (Complex.norm_log_one_add_sub_self_le hz) le_rfl

Похожие утверждения