tendsto_one_add_div_rpow_exp — Mathlib

English

For complex t, the limit of (1 + g(x))^{x} tends to exp(t) as x grows if g behaves appropriately; the real version holds analogously.

Русский

Для комплексного t предел (1 + g(x))^{x} стремится к exp(t) при росте x, если g удовлетворяет соответствующим условиям; вещественный аналог аналогичен.

LaTeX

$$$\\displaystyle \\lim_{x\\to\\infty} (1+g(x))^{x} = e^{t} \\quad (t \\in \\mathbb{C})$$$

Lean4

/-- The limit of `(1 + t/x) ^ x` as `x → ∞` is `exp t` for `t : ℝ`. -/
theorem tendsto_one_add_div_rpow_exp (t : ℝ) : Tendsto (fun x : ℝ ↦ (1 + t / x) ^ x) atTop (𝓝 (exp t)) :=
  by
  apply tendsto_one_add_rpow_exp_of_tendsto
  apply tendsto_nhds_of_eventually_eq
  filter_upwards [eventually_ne_atTop 0] with x hx0
  exact mul_div_cancel₀ t (mod_cast hx0)

Похожие утверждения