tendsto_rpow_atBot_of_base_lt_one

English

The image under polarCoord.symm of the universal pi-polarTarget is almost surely all of ℝ^n with respect to the volume measure.

Русский

Образ polarCoord.symm от полного произведения целевых множеств почти наверняка равен всему пространству ℝ^n по мере объема.

LaTeX

$$$\mathrm{Set.image}(\mathrm{Pi.map}(\lambda x,\operatorname{polarCoord.symm})(\mathbf{1}_{ι})\, , \mathrm{polarCoord.target}) =^\mathrm{a.e.}_{\mathrm{volume}} \mathrm{Set.univ}.$$$

Lean4

theorem tendsto_rpow_atBot_of_base_lt_one (b : ℝ) (hb₀ : 0 < b) (hb₁ : b < 1) : Tendsto (b ^ · : ℝ → ℝ) atBot atTop :=
  by
  simp_rw [Real.rpow_def_of_pos (by positivity : 0 < b)]
  refine tendsto_exp_atTop.comp <| (tendsto_const_mul_atTop_iff_neg <| tendsto_id (α := ℝ)).mpr ?_
  exact (log_neg_iff hb₀).mpr hb₁

Похожие утверждения