norm_cpow_le — Mathlib

English

For all complex z,w, ∥z^w∥ ≤ ∥z∥^{Re w} / exp( Arg(z) · Im w ).

Русский

Для любых комплексных z,w выполняется неравенство ∥z^w∥ ≤ ∥z∥^{Re w} / exp( Arg(z) · Im w ).

LaTeX

$$$\|z^{w}\| \le \|z\|^{\Re w} / e^{\operatorname{Arg}(z) \cdot \Im w}$$$

Lean4

theorem norm_cpow_le (z w : ℂ) : ‖z ^ w‖ ≤ ‖z‖ ^ w.re / Real.exp (arg z * im w) :=
  by
  by_cases h : z = 0 → w.re = 0 → w = 0
  · exact (norm_cpow_of_imp h).le
  · push_neg at h
    simp [h]

Похожие утверждения