tendsto_euler_sin_prod' — Mathlib

English

cot(π z) admits the same exponential expression as above with π in place of 1.

Русский

cot(π z) имеет экспоненциальное выражение аналогично предыдущему с π вместо 1.

LaTeX

$$$$\forall z \in \mathbb{C}, \; \cot(\pi z) = \frac{e^{2\pi i z} + 1}{i\bigl(1 - e^{2\pi i z}\bigr)}.$$$$

Lean4

theorem tendsto_euler_sin_prod' (h0 : x ≠ 0) :
    Tendsto (fun n : ℕ ↦ ∏ i ∈ Finset.range n, (1 + sineTerm x i)) atTop (𝓝 (sin (π * x) / (π * x))) :=
  by
  rw [show (sin (π * x) / (π * x)) = sin (π * x) * (1 / (π * x)) by ring]
  apply (Filter.Tendsto.mul_const (b := 1 / (π * x)) (tendsto_euler_sin_prod x)).congr
  exact fun n ↦ by field_simp; rfl

Похожие утверждения