instHasSummableGeomSeriesOfCompleteSpace

English

In a normed ring with summable geometric series, the geometric sum equals (1 - x)^{-1}.

Русский

В нормированном кольце с суммируемой геометрической серией сумма геометрического ряда равна (1 - x)^{-1}.

LaTeX

$$$\\\\text{HasSum} (n \\mapsto x^n) = (1 - x)^{-1} \\\\text{ when } ||x|| < 1$$$

Lean4

instance {R : Type*} [NormedRing R] [CompleteSpace R] : HasSummableGeomSeries R :=
  by
  constructor
  intro x hx
  have h1 : Summable fun n : ℕ ↦ ‖x‖ ^ n := summable_geometric_of_lt_one (norm_nonneg _) hx
  exact h1.of_norm_bounded_eventually_nat (eventually_norm_pow_le x)

Похожие утверждения