isUnit_one_sub_of_norm_lt_one — Mathlib

English

Let R be a normed ring with a convergent geometric series for every element of sufficiently small norm. If x ∈ R satisfies ∥x∥ < 1, then 1 − x is invertible, and its inverse is given by the geometric sum (1 − x)^{-1} = ∑_{n≥0} x^n.

Русский

Пусть R — нормированное кольцо с существованием сходящейся геометрической серии. Пусть x ∈ R удовлетворяет ∥x∥ < 1. Тогда 1 − x — обратимый, и его обратный элемент равен геометрической сумме: (1 − x)^{-1} = ∑_{n≥0} x^n.

LaTeX

$$$\|x\| < 1 \quad\Rightarrow\quad (1 - x)^{-1} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^n$$$

Lean4

theorem isUnit_one_sub_of_norm_lt_one {x : R} (h : ‖x‖ < 1) : IsUnit (1 - x) :=
  ⟨Units.oneSub x h, rfl⟩

Похожие утверждения