English
In an abelian category, for any two composable morphisms f: X → Y and g: Y → Z, there is a canonical long exact sequence involving ker f, ker(f ≫ g), ker g, coker f, coker(f ≫ g), coker g, ending with 0. In particular, 0 → ker f → ker(f ≫ g) → ker g → coker f → coker(f ≫ g) → coker g → 0 is exact.
Русский
В абелевой категории для любых совместимых морфизмов f: X→Y и g: Y→Z существует каноническая длинная точная последовательность, содержащая ядра и кокернели: 0 → ker f → ker(f ≫ g) → ker g → coker f → coker(f ≫ g) → coker g → 0.
LaTeX
$$$0 \to \ker f \to \ker(f \circ g) \to \ker g \to \operatorname{coker} f \to \operatorname{coker}(f \circ g) \to \operatorname{coker} g \to 0$, exact in an abelian category for composable morphisms f,g.$$
Lean4
theorem tsum_geometric_of_norm_lt_one (h : ‖ξ‖ < 1) : ∑' n : ℕ, ξ ^ n = (1 - ξ)⁻¹ :=
(hasSum_geometric_of_norm_lt_one h).tsum_eq
