hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one

English

If ∥r∥ < 1 and a_n are coefficients with suitable growth, then ∑ a_n r^n converges to a finite limit expressible via a closed form depending on r.

Русский

Если ∥r∥ < 1 и a_n удовлетворяют определенному росту, то ∑ a_n r^n сходится к пределу, выражаемому через r.

LaTeX

$$∥r∥ < 1 ⇒ ∑_{n=0}^{∞} a_n r^n существует (конвергенция)$$

Lean4

/-- If `‖r‖ < 1`, then `∑' n : ℕ, n * r ^ n = r / (1 - r) ^ 2`, `HasSum` version. -/
theorem hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one {r : 𝕜} (hr : ‖r‖ < 1) :
    HasSum (fun n ↦ n * r ^ n : ℕ → 𝕜) (r / (1 - r) ^ 2) :=
  by
  convert hasSum_coe_mul_geometric_of_norm_lt_one' hr using 1
  simp [div_eq_mul_inv]

Похожие утверждения