English
If u is subadditive and divides a bound L at some index n, then eventually u(p)/p < L for p large enough.
Русский
Если u подпредпоследовательность и есть индекс, для которого u(n)/n < L, тогда для больших p выполняется u(p)/p < L.
LaTeX
$$$\forall n, n \neq 0 \Rightarrow (u(n)/n < L) \Rightarrow ∀^{\infty} p, u(p)/p < L$$$
Lean4
theorem integral_le_sum_Ico (hab : a ≤ b) (hf : AntitoneOn f (Set.Icc a b)) :
(∫ x in a..b, f x) ≤ ∑ x ∈ Finset.Ico a b, f x :=
by
rw [(Nat.sub_add_cancel hab).symm, Nat.cast_add]
conv =>
congr
congr
· skip
· skip
rw [add_comm]
· skip
· skip
congr
congr
rw [← zero_add a]
rw [← Finset.sum_Ico_add, Nat.Ico_zero_eq_range]
conv =>
rhs
congr
· skip
ext
rw [Nat.cast_add]
apply AntitoneOn.integral_le_sum
simp only [hf, hab, Nat.cast_sub, add_sub_cancel]
