sum_le_integral — Mathlib

English

For monotone or antitone f on an interval, the sum over a range is bounded by the integral over that range.

Русский

Для монотонной или антитонной f на интервале сумма ограничена интегралом.

LaTeX

$$$\sum_{i=a}^{b-1} f(i) \le \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$$

Lean4

theorem sum_le_integral (hf : MonotoneOn f (Icc x₀ (x₀ + a))) :
    (∑ i ∈ Finset.range a, f (x₀ + i)) ≤ ∫ x in x₀..x₀ + a, f x :=
  by
  rw [← neg_le_neg_iff, ← Finset.sum_neg_distrib, ← intervalIntegral.integral_neg]
  exact hf.neg.integral_le_sum

Похожие утверждения