English
Every abelian category has pullbacks. For any morphisms f: X → Z and g: Y → Z, there exists a pullback object P with projections p1: P → X and p2: P → Y and a relation f ∘ p1 = g ∘ p2, characterized by the universal property of pullbacks.
Русский
Каждая абелева категория имеет пуллбаки. Для любых стрелок f: X → Z и g: Y → Z существует объект пуллбака P с прокси-полями p1: P → X и p2: P → Y, удовлетворяющими f ∘ p1 = g ∘ p2 и описывающими универсальное свойство пуллбака.
LaTeX
$$$\\\\forall X,Y,Z \\\\in \\\\mathrm{Obj}(C), \\\\forall f: X \\\\to Z, \\\\forall g: Y \\\\to Z, \\\\exists P, p_1: P \\\\to X, p_2: P \\\\to Y, \\\\ f \\\\circ p_1 = g \\\\circ p_2 \\\\land \\\\forall Q, u_1: Q \\\\to X, u_2: Q \\\\to Y, \\\\ f \\\\circ u_1 = g \\\\circ u_2 \\\\Rightarrow \\\\exists! w: Q \\\\to P, p_1 \\\\circ w = u_1, p_2 \\\\circ w = u_2.$$$
Lean4
/-- Any abelian category has pullbacks -/
instance (priority := 100) hasPullbacks : HasPullbacks C :=
hasPullbacks_of_hasBinaryProducts_of_hasEqualizers C
