English
In an Abelian category, coequalizers exist. For any pair of parallel arrows f,g: X ⇒ Y, there is a coequalizer q: Y → Q with q ∘ f = q ∘ g and a universal property: for any h: Y → Z with h ∘ f = h ∘ g there exists a unique u: Q → Z such that h = u ∘ q.
Русский
В абелевой категории существуют коэкваленторы. Для пары параллельных стрелок f,g: X ⇒ Y существует коэквалентор q: Y → Q such that q ∘ f = q ∘ g и универсальное свойство: для любого h: Y → Z с h ∘ f = h ∘ g существует единственный u: Q → Z такой, что h = u ∘ q.
LaTeX
$$$\\\\forall X,Y \\\\in \\\\mathrm{Obj}(C), \\\\forall f,g: X \\\\to Y, \\\\exists Q, q: Y \\\\to Q, \\\\ q \\\\circ f = q \\\\circ g \\\\land \\\\forall Z, h: Y \\\\to Z, \\\\ h \\\\circ f = h \\\\circ g \\\\Rightarrow \\\\exists! u: Q \\\\to Z, \\\\ h = u \\\\circ q.$$$
Lean4
instance (priority := 100) hasCoequalizers : HasCoequalizers C :=
Preadditive.hasCoequalizers_of_hasCokernels
