exact_iff_epi_imageToKernel' — Mathlib

English

For a short complex S, S is exact iff the morphism imageToKernel' S.f S.g S.zero is epi.

Русский

Для краткой последовательности S точность эквивалентна тому, что образ-ядро' образа S.f, S.g образует эпиморфизм.

LaTeX

$$$S\\text{.Exact} \\iff \\mathrm{Epi}(\\mathrm{imageToKernel'}(S.f,S.g,S.zero))$$$

Lean4

theorem exact_iff_epi_imageToKernel' : S.Exact ↔ Epi (imageToKernel' S.f S.g S.zero) :=
  by
  rw [S.exact_iff_epi_kernel_lift]
  have : factorThruImage S.f ≫ imageToKernel' S.f S.g S.zero = kernel.lift S.g S.f S.zero := by
    simp only [← cancel_mono (kernel.ι _), kernel.lift_ι, imageToKernel', Category.assoc, image.fac]
  constructor
  · intro
    exact epi_of_epi_fac this
  · intro
    rw [← this]
    apply epi_comp

Похожие утверждения