injectivity₀ — Mathlib

English

In an IsPresentable setting, the map g and the kernel give a universal construction ensuring injectivity of a certain functor F on Under j0.

Русский

В конфигурации IsPresentable отображение g и ядро образуют всеобщую конструкцию, обеспечивающую инъективность определённого функторов F.

LaTeX

$$$\exists j, \exists \phi: j_0 \to j, y \mapsto Y.map(\phi)$ with kernel relations$$

Lean4

theorem injectivity₀ {j₀ : J} (y : X ⟶ Y.obj j₀) (hy : y ≫ c.ι.app j₀ = 0) : ∃ (j : J) (φ : j₀ ⟶ j), y ≫ Y.map φ = 0 :=
  by
  have := isFiltered_of_isCardinalFiltered J κ
  obtain ⟨j, h⟩ :=
    exists_isIso_of_functor_from_monoOver (F y) hXκ _ (colimit.isColimit (kernel (g y))) (f y)
      (fun j ↦ by simpa using hf y j) (epi_f hc hy)
  dsimp at h
  refine ⟨j.right, j.hom, ?_⟩
  simpa only [← cancel_epi ((kernel.ι (g y)).app j), comp_zero] using NatTrans.congr_app (kernel.condition (g y)) j

Похожие утверждения