English
In the opposite direction, Gabriel–Popescu embedding behaves well with respect to abelian and Grothendieck structure, yielding ring isomorphisms on endomorphism rings.
Русский
В противоположной направленности вложение Габриэль-Попеску согласуется с абелевой и Гротендже обстановкой, порождая кольцевые изоморфизмы на кольцах концевых отображений.
LaTeX
$$instance {X} : Ring (EmbeddingRing F)$$
Lean4
theorem preservesInjectiveObjects (G : C) (hG : IsSeparator G) : (preadditiveCoyonedaObj G).PreservesInjectiveObjects
where
injective_obj {B}
hB := by
rw [← Module.injective_iff_injective_object]
simp only [preadditiveCoyonedaObj_obj_carrier, preadditiveCoyonedaObj_obj_isAddCommGroup,
preadditiveCoyonedaObj_obj_isModule]
refine Module.Baer.injective (fun M g => ?_)
have h :=
exists_d_comp_eq_d hG B (ModuleCat.ofHom ⟨⟨fun i => i.1.unop, by cat_disch⟩, by cat_disch⟩) ?_ (ModuleCat.ofHom g)
· obtain ⟨l, hl⟩ := h
refine
⟨((preadditiveCoyonedaObj G).map l).hom ∘ₗ (Preadditive.homSelfLinearEquivEndMulOpposite G).symm.toLinearMap,
?_⟩
intro f hf
simpa [d] using Sigma.ι _ ⟨f, hf⟩ ≫= hl
· rw [ModuleCat.mono_iff_injective]
cat_disch
