exact_f_d — Mathlib

English

If we build a short exact sequence using the cokernel of f and the injective ι, the resulting short complex is exact.

Русский

При построении кратной точной последовательности через коканал f и внедряющую ι-импликацию получаем точную последовательность.

LaTeX

$$ShortComplex.mk f (d f) (by simp).Exact$$

Lean4

theorem exact_f_d {X Y : C} (f : X ⟶ Y) : (ShortComplex.mk f (d f) (by simp)).Exact :=
  by
  let α : ShortComplex.mk f (cokernel.π f) (by simp) ⟶ ShortComplex.mk f (d f) (by simp) :=
    { τ₁ := 𝟙 _
      τ₂ := 𝟙 _
      τ₃ := Injective.ι _ }
  rw [← ShortComplex.exact_iff_of_epi_of_isIso_of_mono α]
  apply ShortComplex.exact_of_g_is_cokernel
  apply cokernelIsCokernel

Похожие утверждения