English
For any action X of a topological monoid G on V, IsContinuous(X) is the property that the induced G-action on the underlying topological space is continuous. Equivalently, X is continuous iff the map (g,x) ↦ g • x is a continuous map from G × |X| to |X|.
Русский
Для действия X моноида G над V свойство IsContinuous(X) означает, что индуцированное действие на базовом топологическом пространстве непрерывно. Эквивалентно: X непродолжимо тогда и только тогда, когда отображение (г, x) ↦ g • x непрерывно.
LaTeX
$$$X.\\text{IsContinuous} \\iff \\text{Continuous}\\bigl(\\lambda p : G \\times ((\\mathrm{forget}_2\\,TopCat).obj X)\\,\\;\\mapsto (\\mathrm{forget}_2\\,TopCat).map (X.\\rho\\ p.1)\\;p.2\\bigr).$$$
Lean4
/-- For `HasForget₂ V TopCat` a predicate on an `X : Action V G` saying that the induced action on
the underlying topological space is continuous. -/
abbrev IsContinuous (X : Action V G) : Prop :=
ContinuousSMul G ((CategoryTheory.forget₂ _ TopCat).obj X)
