English
A functor from the action groupoid to a one-object category can be curried to a monoid homomorphism into a semidirect product; explicitly, the map g ↦ ⟨(b ↦ F(homOfPair b g)), g⟩ is a monoid homomorphism.
Русский
Функтор из группы-категории действия в односущную категорию можно каррировать в гомоморфизм моноидов в полупродукт; явно отображение g ↦ ⟨(b ↦ F(homOfPair b g)), g⟩ является гомоморфизмом моноидов.
LaTeX
$$$\text{curry}(F) : G \to_* (X \to H) \rtimes G$ with toFun(g) = ⟨ b \mapsto F(\mathrm{homOfPair}(b,g)), g ⟩$$
Lean4
theorem mono_of_mono_left [Mono f] {H : IsPushout f g h i} (H' : H.IsVanKampen) : Mono i :=
IsKernelPair.mono_of_isIso_fst
((H' (𝟙 _) g g (𝟙 Y) (𝟙 _) f (𝟙 _) i (IsKernelPair.id_of_mono f) (IsPullback.of_vert_isIso ⟨by simp⟩) H.1.flip ⟨rfl⟩
⟨by simp⟩).mp
(IsPushout.of_horiz_isIso ⟨by simp⟩)).2
