isEquivalence_of_isRightAdjoint — Mathlib

English

If G is a right adjoint and the unit and counit are pointwise isomorphisms, then G is an equivalence of categories.

Русский

Если G является правым сопряжённым и единица и ковуит являются точечными изоморфизмами, то G является эквивалентностью категорий.

LaTeX

$$$ G \text{ is an equivalence if its unit and counit are isomorphisms pointwise. } $$$

Lean4

/-- If the unit and counit for the adjunction corresponding to a right adjoint functor are (pointwise)
isomorphisms, then the functor is an equivalence of categories.
-/
theorem isEquivalence_of_isRightAdjoint (G : C ⥤ D) [IsRightAdjoint G]
    [∀ X, IsIso ((Adjunction.ofIsRightAdjoint G).unit.app X)]
    [∀ Y, IsIso ((Adjunction.ofIsRightAdjoint G).counit.app Y)] : G.IsEquivalence :=
  (Adjunction.ofIsRightAdjoint G).toEquivalence.isEquivalence_inverse

Похожие утверждения