English
If U has a left adjoint F with counits that are regular epimorphisms, A has reflexive coequalizers, and R ⋙ U has a right adjoint, then R has a right adjoint.
Русский
Пусть U имеет левое сопряжение F с кауниями, являющимися Регулярными эпиморфизмами, A имеет рефлексивные когомологии, и R ∘ U имеет правое сопряжение; тогда R имеет правое сопряжение.
LaTeX
$$$$(R \\circ U) \\text{ имеет правую сопряжённость} \\Rightarrow R \\text{ имеет правую сопряжённость},$$ с предпосылками, что U имеет левое сопряжение и A имеет рефлексивные когомоеключатели.$$
Lean4
/-- The adjoint triangle theorem: Suppose `U : B ⥤ C` has a left adjoint `F` such that each counit
`ε_X : FUX ⟶ X` is a regular epimorphism. Then if a category `A` has coequalizers of reflexive
pairs, then a functor `R : A ⥤ B` has a left adjoint if the composite `R ⋙ U` does.
Note the converse is true (with weaker assumptions), by `Adjunction.comp`.
See https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+triangle+theorem
-/
theorem isRightAdjoint_triangle_lift {U : B ⥤ C} {F : C ⥤ B} (R : A ⥤ B) (adj₁ : F ⊣ U)
[∀ X : B, RegularEpi (adj₁.counit.app X)] [HasReflexiveCoequalizers A] [(R ⋙ U).IsRightAdjoint] : R.IsRightAdjoint
where
exists_leftAdjoint :=
⟨LiftLeftAdjoint.constructLeftAdjoint R _ adj₁ (Adjunction.ofIsRightAdjoint _),
⟨Adjunction.adjunctionOfEquivLeft _ _⟩⟩
