mem_essImage_of_unit_isSplitMono — Mathlib

English

For an adjoint quadruple where L and G are fully faithful, the left-to-right components are epi iff the right-to-left components are mono, under HasPullbacks and HasPushouts.

Русский

Для четырехугольника, где L и G полностью достоверны, компоненты слева направо являются эпиморфизмами тогда и только тогда, когда компоненты справа налево монофицируются, при условии существования pullbacks и pushouts.

LaTeX

$$$(\\forall X, \\mathrm{Epi}(q.leftTriple.leftToRight.app X)) \\iff (\\forall X, \\mathrm{Mono}(q.rightTriple.rightToLeft.app X))$$$

Lean4

/-- If `η_A` is a split monomorphism, then `A` is in the reflective subcategory. -/
theorem mem_essImage_of_unit_isSplitMono [Reflective i] {A : C} [IsSplitMono ((reflectorAdjunction i).unit.app A)] :
    i.essImage A := by
  let η : 𝟭 C ⟶ reflector i ⋙ i := (reflectorAdjunction i).unit
  haveI : IsIso (η.app (i.obj ((reflector i).obj A))) := Functor.essImage.unit_isIso ((i.obj_mem_essImage _))
  have : Epi (η.app A) := by
    refine @epi_of_epi _ _ _ _ _ (retraction (η.app A)) (η.app A) ?_
    rw [show retraction _ ≫ η.app A = _ from η.naturality (retraction (η.app A))]
    apply epi_comp (η.app (i.obj ((reflector i).obj A)))
  haveI := isIso_of_epi_of_isSplitMono (η.app A)
  exact (reflectorAdjunction i).mem_essImage_of_unit_isIso A

Похожие утверждения